19级 数学 infty

首先感谢HEBUT手册编委会,这是个很有意义的项目,我有朋友在中科大数学系读书,我曾经浏览参观过中科大的"手册",看着上面的学长学姐给中科大新生留下的建议,深受触动.只是可惜项目目前还没有专门的组织运营,中科大的数学系有一本专门的由学校组织运营的校内学术杂志《蛙鸣》,用于发表本校学术的一些小的成果,希望有朝一日我校也能如此.

我的学弟学妹们,笔者是19级数学专业的学生,可能是你的班助,也可能是你们班助的班助,也可能是你们班助的班助的班助.

因为在我刚进入数学系的时候,缺乏先人指导,加之天资愚钝,走过相当多的弯路,因此我想在此为后来者留下一份数学专业的"生存指南"

首先,挂科是不会挂科的,永远不可能挂科,哪怕把老师给的重点背下来,也不会挂科

但背重点显然不是正常的学习方式,数学系的课程较为抽象,难度较高,学起来难免困难枯燥,以数学系的基础课高等代数为例,以北大版教材为例,真正进入线性代数的学习是在第三章,可能是刚刚学习就直接接触$n$维,难免会觉得概念有种凭空出现,不明所以的感觉.这时候可以找低维的例子,比如线性相关的概念,众所周知线性指的是$\sigma(\alpha+\beta) = \sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\sigma(k\alpha) = k\sigma(\alpha)$这两条,在二维平面中,任取三个两两不共线的向量$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$,如果其中一个可以由另外两个通过加法数乘表示,即为线性相关,若任何一个都不能由另外两个通过加法数乘表示,即为线性无关.再比如线性方程组的秩,方程组的秩代表那些"真正有用的方程"的个数,如果一个方程可由方程组的其他方程线性表出,那么这个方程对于解空间没有任何贡献.再比如方程个数多于未知数个数,那么方程组$A_{m\times n}X_{n\times 1} = 0(m>n)$一定有无穷多解,n维向量$X_{n\times 1}$通过矩阵$A_{m\times n}$(可视为线性变换)的作用,映射成为一个$X_{m\times 1}$的m维向量,高维向量映射为低维,说明有些维度消失了,让这些消失的维度取任意值,还在的维度取0,就会得到无穷多个解,类似的想法有很多,可以参考一下b站3b1b的视频《线性代数的本质》,通过这样的方式理解,可以让晦涩的专业课稍微轻松容易一些.

在此提供一些我自己整理的笔记,笔记分为两种,一种是自己在学习过程中写的,一种是在期末考试之前写来应付考试的,后者需要慎重,由于是根据老师的期末重点写的,每年重点可能不太一样.对于所有的笔记,由于没有校正过,笔记内容未必都是全对的,仅供参考

1. 抽象代数笔记 抽象代数期末应急

2. 泛函分析笔记 泛函分析期末应急

3. 数值分析期末应急

4. 拓扑学笔记

5. 复变函数笔记

6. 实变函数笔记

可惜的是,基础专业课的笔记还没有校对完成,估计以后会补上的.

最后想说的是,如果对于想将理论应用于实践同学,怕是要辛苦些再去学习一下相关专业的知识,我想有不少人是因为听到"数学系好转专业"之类的话而来数学系学习的,我曾经和智能院的朋友做一个机器视觉方面的项目,算法方面是由我负责,为此我几乎学习了信计专业80%的专业课,比如数据分析,应用回归分析,机器学习,尽管是我应用数学专业,并且还学了一部分统计学,数字图像处理,pytorch深度学习框架等等,那些日子几乎就是睁眼就开学,一直学到闭眼.总而言之,对于学习其他专业的知识,数学系确有优势,但也是要付出不少的艰辛.

以我最喜欢的一段话结束吧,来自菲尔兹奖得主小平邦彦

"在我看来，数学书（包括论文）是最晦涩难懂的读物。将一本几百页的数学书从头到尾读一遍更是难上加难。翻开数学书，定义、公理扑面而来，定理、证明接踵而至。数学这种东西，一旦理解则非常简单明了，所以我读数学书的时候，一般都只看定理，努力去理解定理，然后自己独立思考数学证明。不过，大多数情况下都是百思不得其解，最终只好参考书中的证明。然而，有时候反复阅读证明过程也难解其意，这种情况下，我便会尝试在笔记本中抄写这些数学证明。在抄写过程中，我会发现证明中有些地方不尽如人意，于是转而寻求是否存在更好的证明方法。如果能顺利找到还好，若一时难以觅得，则多会陷入苦思，至无路可走、油尽灯枯才会作罢。按照这种方法，读至一章末尾，已是月余，开篇的内容则早被忘到九霄云外。没办法，只好折返回去从头来过。之后，我又注意到书中整个章节的排列顺序不甚合理。比如，我会考虑将定理七的证明置于定理三的证明之前的话，是否更加合适。于是我又开始撰写调整章节顺序的笔记。完成这项工作后，我才有真正掌握第一章的感觉，终于松了一口气，同时又因太耗费精力而心生烦忧。从时间上来说，想要真正理解一本几百页的数学书，几乎是一件不可能完成的任务。真希望有人告诉我，如何才能快速阅读数学书。"

诸君共勉.